sábado, 10 de octubre de 2009

CONCEPTOS BÁSICOS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo.

Cocientes Notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Casos de factorización

Caso 1 - Factor común

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

Caso 2 - Factor por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de un término.

Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

Dos de los procesos más importantes que tienen que ver con las expresiones algebraicas, son los productos notables y la factorización.

En Matemáticas, se le da el nombre de productos notables a aquellos productos que se ajustan a reglas fijas y que se obtienen al elevar un binomio a la segunda y/o a la tercera potencias. Tal es el caso de los binomios a + b y a - b (o cualesquiera otras literales), que al elevarlos a las potencias mencionadas obtenemos los siguientes productos notables:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Y se llaman productos notables porque son invariables y en todo caso, quienes manejan las matemáticas no necesitan realizar las multiplicaciones para obtener esos productos.

Por otra parte, en matemáticas, la factorización es la descomposición de un objeto; (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio). En el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo: el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).

La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes.

Definición

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

  1. Binomio de Suma al Cuadrado
  2. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

  3. Binomio Diferencia al Cuadrado
  4. ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

  5. Diferencia de Cuadrados
  6. ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

  7. Binomio Suma al Cubo
  8. ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

    = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

  9. Binomio Diferencia al Cubo
  10. ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

  11. Suma de dos Cubos
  12. a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

  • Diferencia de Cubos
  • a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

  • Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio
  • ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

  • Trinomio Suma al Cubo
  • ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

  • Identidades de Legendre
  • ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

  • Producto de dos binomios que tienen un término común
  • ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab


    Factor común

    Representación gráfica de la regla de factor común

    El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

     c (a + b) = c a + c b \,

    Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es

     c (a + b) \, (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
    Ejemplo
     3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,

    Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

    Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

    Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

     (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,

    un trinomio de la forma: a^2 + 2 a b + b^2 \;, se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

    Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

     (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,

    En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

    Ejemplo
    (2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,

    simplificando:

    (2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,

    Producto de dos binomios con un término común

    Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común

    Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

    (x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,
    Ejemplo
    (3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,

    agrupando términos:

    (3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,

    luego:

    (3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,

    Producto de dos binomios conjugados

    Véase también: Conjugado (matemática)
    Producto de binomios conjugados.

    Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

     (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,
    Ejemplo
    (3x+5y)(3x-5y) =  \,
    (3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,

    agrupando términos:

    (3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,

    A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

    Polinomio al cuadrado

    Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica

    Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

    (a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,
    (a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+  2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,
    Ejemplo
     (3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,

    multiplicando los monomios:

     (3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,
     + 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,
     + (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,

    agrupando términos:

    (3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,

    luego:

    (3x+2y-5z)^2  = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,

    Binomio al cubo o cubo de un binomio

    Descomposición volumétrica del binomio al cubo

    Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

    (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,

    Identidades de Cauchy:

    (a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,
    Ejemplo
    (x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,

    agrupando términos:

    (x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,

    Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

    (a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,

    Identidades de Cauchy:

    (a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,
    Ejemplo
    (x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,

    agrupando términos:

    (x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,

    Identidad de Argand

    (x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1 \,

    Identidades de Gauss

    a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \,
    a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2] \,

    Identidades de Legendre

    (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) \,
    (a+b)^2-(a-b)^2=4ab \,
    (a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2) \,

    Identidades de Lagrange

    (a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,
    (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2 \,

    Otras identidades

    Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

    Suma de cubos
     a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \,
    Resta de cubos
     a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \,

    Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (constrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).

     (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \,
     (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \,

    productos notables

    Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicación con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

    Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorizacion. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.